2）有重复值的全排列问题： 注意每次递归的时候去除重复值即可，即有重复值就不进行交换。
4）有顺序的全排列（可以看做非递归实现） 解题思路：使用next_permutation也以获得全排列，即不断调用next_permutation来获得更大值，然后依次输出
5）有特殊要求的全排列，比如要求4必须在3前面 解题思路：进行全排列，然后判断4和3的位置再进行输出；（？更好方法）
6）查找数字排列组合中的第k个组合：（Permutation Sequence） 解题思路： 即给定{1,2,3},和3,返回全排列(123,132,213,231,312,321)中的第三个，即213 注意： 这里不需要将全排列计算出来，然后再得到第k个； 或者使用nextPermutation来计算第k个；这两种时间复杂度都较大； 最好的做法：是直接利用数学知识进行计算： 还是分为两层来看，第一位确定的话，后面P(n-1)的全排列为（n-1）!，则可以根据算法判断出第一位是哪个数值；剩下的类推。
递归法：递归法比较简单，比如八皇后问题，就可以看成已知其中一个皇后位置，求其他7个的位置；然后再确定第二个皇后的位置，求剩下6个皇后的位置；以此类推进行递归，直至递归到最后一层，输出结果。
八、字符串数组排序： 由于字符串实现了Comparable接口，可以比较两个字符串之间的大小，因此可以像实现int数组排序一样实现字符串数组的排序。
九、k个排序链表合并成一个排序链表（或者k个排序数组合并成一个排序数组） 解题思路：创建一个k阶的最小堆，创建堆的时间复杂度o(n*logn)；取最小值的事件复杂度为O(1)；删除最小值，加入一个新值，调整堆的时间复杂度为O(lgn); 每次取最小值，最为新链表（新数组）的下一个值；然后再从该数值对应数组中取出一个新值放在堆顶，然后调整堆，重复上述过程； 也可以使用败者树来实现。
相关题：找到一个数组中的第k大的值 思路：维护一个k阶最小堆，新值和堆顶元素进行比较，如果大于堆顶元素值，则替换堆顶元素，调整堆；
十、求两个整数的最大公约数；最小公倍数（辗转相除法）
十一、求格雷码： 格雷码是二进制转化成的编码，它的相邻两个数的格雷码只有一个位是不同的；最大数和最小数也只有一个位不同；所以适应了真正电气环境下数值不能连续变化多位的情况； 编码：二进制转化为格雷码： 第一位保持不变，然后从最右边一位开始，与左边一位进行异或，得到的异或值即为格雷码； 1001001010 ==> 1101101111 解码：格雷码转化为二进制： 解码从最左边开始，一个为解码值保持不前，然后从左边第二位开始，每一位和前一位的解码值进行异或，得到的值即为解码值。
解法二：由于题设该数字出现的次数大于其他所有数字出现的次数，故用两个变量，一个表示数字num_data，一个表示次数；当下一个数字等于num_data时，则times加1；如若不等于，time减1；直至times等于0，则将num_data更换为下一个数字；由题知，最后得到的num_data的结果必为所要求得的值。
十八、判断一个数是否是2的n次方： 解题思路： 一个数num是2的n次方则二进制表示为（000010000…），则num-1是(000001111111…)；其num与num-1二进制位必然没有一个相等； 因此判断num&(num - 1)是否等于0即可。
二十一、排序算法
在循环遍历中，每一次遍历数组将最大的数字通过交换沉到最后一位
优化：
1）设置一个flag标示，当一次遍历有交换设置为true，没有交换时则表示前面数组已经有序，无需再做遍历
2）记录每一次遍历发生交换的最后位置，因为这个位置之后的数组肯定是有序的；最后交换位置为0时，循环结束
3、希尔排序（插入排序）：将数组分为很多小序列，然后分别进行直接插入排序；待整个数组基本有序的时候，最后进行一次插入排序 时间复杂度（O(n^（1-2）)）:最坏O(n^2)，最好O(n)；空间复杂度:O(1)；不稳定 实现，选取一个增量序列（递减到1）（比如x/2序列）
实现：单指针法，双指针法 快速排序的改进： 1）中枢值的选取：传统方法中使用最左元素或者最右元素，这样在数组基本有序时的性能较差（会退化成冒泡算法）； 改进方法一：中枢值 pivot使用随机数来取代（但是产生随机数也会带来性能损耗） 方法二：pivot选取first-middle-last中的中间大小的那个值，时间复杂度会减少到12/7 ln(n) 方法三：median-of-three对小数组来说有很大的概率选择到一个比较好的pivot，但是对于大数组来说就不足以保证能够选择出一个好的pivot，因此还有个办法是所谓median-of-nine，这个怎么做呢？它是先从数组中分三次取样，每次取三个数，三个样品各取出中数，然后从这三个中数当中再取出一个中数作为pivot，也就是median-of-medians。取样也不是乱来，分别是在左端点、中点和右端点取样。什么时候采用median-of-nine去选择pivot，这里也有个数组大小的阀值，这个值也完全是经验值，设定在40，大小大于40的数组使用median-of-nine选择pivot，大小在7到40之间的数组使用median-of-three选择中数，大小等于7的数组直接选择中数，大小小于7的数组则直接使用插入排序
6、简单选择排序：第i次遍历的时候，从i-n序列中找到最小值，与第i个元素进行交换。也就是每一趟遍历都选取一个最小元素作为第i元素值。 时间复杂度：O(n^2);最优： O(n^2);最差：O(n^2); 空间复杂度O(1);不稳定
排序算法性能比较： 时间复杂度： O(n^2)的有：直接插入排序，冒泡排序，简单选择排序 O(n^(1-2))： 希尔排序 O(nlogn):快速排序，归并排序，堆排序 O(n):线性：桶排序；基数排序
选择上： 基本有序时，选择直接插入排序，希尔排序；而快速排序会退化成冒泡排序； 平均性能上最优的是快速排序；在最坏情况下，性能上不如堆排序和归并排序，而n较大时，归并排序优于堆排序，但是其需要的存储空间要大。 直接插入排序在基本有序或者n较小时最佳。
稳定性： 即值相同的关键字在排序前后位置先后顺序不变 稳定的：冒泡、插入、归并、基数 不稳定：选择、希尔、快速、堆；
设待排序元素的个数为n. 1）当n较大，则应采用时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序序。 快速排序：是目前基于比较的内部排序中被认为是最好的方法，当待排序的关键字是随机分布时，快速排序的平均时间最短； 堆排序 ： 如果内存空间允许且要求稳定性的， 归并排序：它有一定数量的数据移动，所以我们可能过与插入排序组合，先获得一定长度的序列，然后再合并，在效率上将有所提高。 2） 当n较大，内存空间允许，且要求稳定性 =》归并排序 3）当n较小，可采用直接插入或直接选择排序。 直接插入排序：当元素分布有序，直接插入排序将大大减少比较次数和移动记录的次数。 直接选择排序 ：元素分布有序，如果不要求稳定性，选择直接选择排序 5）一般不使用或不直接使用传统的冒泡排序。 6）基数排序 它是一种稳定的排序算法，但有一定的局限性： 1、关键字可分解。 2、记录的关键字位数较少，如果密集更好 3、如果是数字时，最好是无符号的，否则将增加相应的映射复杂度，可先将其正负分开排序。
二十二、外部排序： 1）根据内存能够缓存的大小，将全部数据进行分段，加入到内存，进行内部排序。 2）然后进行k-路归并；k路归并使用败者树； 胜者树：锦标赛排序 败者树：使用节点来记录失败的元素；胜者往上一层进行比较，扩展一个节点来记录最终的冠军； 败者树重构只需要新添加的元素和父节点进行比较（即败者进行比较）；而胜者树则是需要和右节点进行比较；
二十四、二分查找： 考虑有数值的相同情况
当我踏入计算机科学的大门，计算机算法便如同一座神秘而充满魅力的智慧魔方，吸引着我不断探索其中的奥秘。在大一的学习旅程中，与计算机算法的邂逅，成为了我在编程世界里成长与蜕变的重要契机。 算法，这个看似抽象的概念，实则是计算机解决问题的核心策略。它如同一位幕后指挥官，精确地规划着计算机程序的每一
轧钢问题。轧钢需要经过粗轧和精轧两个步骤，已知粗轧钢材分布和精轧所规定的钢材长度，以及钢材的加工标准流程，求解理想的粗轧均值使得最终总浪费的钢材最少。不妨设粗轧的均值为，则有粗轧长度服从：。标准长度记为。其中需要人为设定，已经确定不可更改。从粗轧到精轧，如果粗轧长度小于标准，则整根浪费；若粗轧长度大于标准，则在精轧中去除多余部分，且去除的部分记为浪费的钢材。则有每粗轧一根钢材的期望浪费值如下求得：
Josephus
wake up各位小伙伴大家好，相信大家已经看过前面Column Generation求解VRPTW的线性松弛模型的过程详解了。子问题的目标是找到一条reduced cost最小的合法路径，然后加入到Linear Master Problem中。其实，子问题被称为Elementary Shortest Path Problem with Resource Constraints （ESPPRC）也
算法是计算机学科的一个重要分支，它是计算机科学的基础，更是计算机程序的基石。算法是计算机求解问题的特殊方法。学习算法，一方面需要学习求解计算领域中典型问题的各种有效算法，还要学习设计新算法和分析算法性能的办法。一个算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。简单来说，算法就是解决问题的方法和步骤。一、算法有五个特征（一）输入：算法有零个或多个输入量；（二）输出：算法至少产生一个输出量；
前一段时间后台有小伙伴问我能不能写一个人工鱼群（AF）求带时间窗车辆路径问题（VRPTW）的代码，由于时间有限，小编只写了一份用AF求容量受限的车辆路径问题（CVRP）的代码，仅供参考。大体的思路是先对人工鱼进行编码，然后采用人工鱼群算法求解TSP问题中的觅食、聚群、追尾和随机行为对人工鱼群进行更新。但是亟需需要解决的问题是：对于CVRP问题，如何对人工鱼进行编码。如果顾客数目为L，提供的车辆数目
作者 | Victor Sim 编译
基于两种不同的启发函数设计策略，设计A*算法解决八数码问题。
在这篇博文中，我们将详细探讨如何利用 A* 算法来求解迷宫问题，并通过 Python 代码演示其实现过程。A* 算法是一种有效的路径搜索算法，它常用于游戏开发、机器人路径规划等领域。接下来，我们将逐步深入相关的技术原理、架构解析、源码分析、性能优化及应用场景。## 背景描述迷宫问题是计算机科学中一个经典的问题，目标是在一个充满障碍的网格中找到从起点到终点的最短路径。这个问题可以通过图像的方
今天小编为大家讲解一下人工鱼群算法。从算法的名字中可以看出该算法是群体智能优化算法中的一种，人工鱼群算法通过模拟鱼群的觅食、聚群、追尾、随机等行为在搜索域中进行寻优。小编觉得人工鱼群算法有三个比较重要的概念：视野范围、k-距离邻域、多条鱼的中心。一 | 基本概念1 | 视野范围Visual小编觉得人工鱼群算法最重要的概念就是视野范围Visual，在定义视野范围之前大家需要明白两条鱼之间的“距离”是
算法求解问题是计算机科学中的核心内容之一，它不仅涉及到解决问题的逻辑和方法，还涉及到效率和优化。以下是一篇关于算法求解问题的感悟文章。算法求解问题的感悟算法是解决问题的灵魂，它们是一系列定义明确的计算步骤，用于接受输入并产生输出。在计算机科学的世界里，算法是构建高效、可靠软件系统的基础。以下是我在学习和应用算法求解问题过程中的一些感悟。一、算法的力量算法的力量在于其能够将复杂问题简化为可操作的步骤
ESP32 单片机学习笔记 - 03 - MCPWM脉冲输出/PCNT脉冲计数前言，继续上一篇的内容。因为上一篇刚好实验了iic和spi，形成一对。接下来讲pwm另起一篇。 目录ESP32 单片机学习笔记 - 03 - MCPWM脉冲输出/PCNT脉冲计数一、电机PWM输出 - MCPWM1) 引脚初始化 gpio_init2） 配置模块 config3）PWM控制二、编码器脉冲输入 - Pu
这两天一直在查找算法问题之类的问题,现在正好有机会和大家分享一下. 一、TSP问题 TSP问题（Travelling Salesman Problem）即游览商问题，又译为游览推销员问题、货郎担问题，是数学领域中有名问题之一。假设有一个游览商人要造访n个都会，他必须选择所要走的路径，路径的制约是每一个都会只能造访一次，而且最后要回到来原动身的都会。路径的选择标目是要求得的路径行程为全部
问题描写叙述：打一枪可能的环数为0~10，求打10枪总环数为90的概率。 这是一道排列组合问题。能够用循环加递归的方法解决。比方，第一次能够打出0~10环，那么先固定第一次打的环数。然后加上剩下的九次打的环数。就得到总环数。而剩下九次的环数通过递归非常easy求得。代码例如以下： #include
一、实验目的1.熟悉C/C++语言的集成开发环境; 2.掌握算法的概念； 3.了解问题的求解方法； 4.理解递归思想，学会编写递归。二、实验原理算法（algorithm） 一个算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。算法具有下列 5个特征: 输入（input）；输出（output）；确定性（definiteness）；能行性（effectiveness）；有穷性（finitenes
目录前言问题及思路1.问题概述2.设计思路源码及测试1.输入2.代码 前言算法大作业，综合应用8种算法解决TSP问题，分别是： 蛮力法（顺序查找） 分治法（快速排序）贪心法（求上界）近似算法（贪心+寻找最优贪心值）分支限界法（多城市）动态规划法（少城市）回溯法（中等规模城市数量） Sherwood概率算法改进版（随机第一个城市） 共8种算法（加粗的用于求解问题） 第一次发博客，如有错误，希望大佬
一、求解TSP问题 1、问题描述 TSP问题是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。 2、最近邻点策略 （1）思想： 从某城市出发，每次在没有到过的城市中选择最近的一个，直到经过了所有的城市，最后回到出发城市。 （2）算法设计 设图G有n个顶点，边上的代价存储在二维数组
一、TSP问题 TSP问题（Travelling Salesman Problem）即旅行商问题，又译为旅行推销员问题、
A*算法是启发式搜素算法中较为出名和高效的算法之一，其关键是对于启发式函数的实际，启发式函数h(x)需要尽可能的接近实际的h(x)∗h(x)∗。下面是人工智能八数码问题使用A*算法求解的源码放在博客上记录一下。程...
6 复位与时钟控制（RCC） 有三种Reset:System 复位,Power 复位,RTC域复位. 6.1 System 复位 System复位所有寄存器，但除了RTC,RTC backup寄存器和控制/状态寄存器RCC_CSR。 system复位产生的情形有: NRST引脚拉低 看门狗计数结束( ...
一、pnpm 相比 npm 的核心优势核心概念图解下图直观展示了 npm 与 pnpm 在安装相同依赖后，项目目录结构的根本性差异。1. npm 的依赖组织方式 (平铺结构 - Hoisting)工作原理： npm (v3+) 和 Yarn v1 采用了一种称为 “提升” (hoisting) 的策 ...
本文展示了C++中switch语句的多种实现方式及其汇编代码分析。主要包括：1)密集连续值可能生成跳转表；2)稀疏值生成条件跳转链；3)小间隔值使用表优化；4)带fall-through的case；5)枚举类型switch；6)字符类型switch；7)大范围边界测试；8)嵌套switch；9)少量case处理；10)状态机应用。代码示例演示了不同场景下的switch实现，并提供了对应的汇编代码分析，展示了编译器如何根据case分布选择最优的跳转策略。
出现的问题 1、最近有小伙伴开发平板的批注在我们平板机器上直接报了“从服务器返回了一个参照”，而之前的版本都是可以直接运行且不报错的。 2、查询了一下网上对于“从服务器返回了一个参照”一些讨论如下： win11下安装应用失败，提示从服务器返回了一个参照_从服务器返回了一个参照怎么解决-博客 ...
SGLANG是一个高性能的语言模型推理引擎，旨在为大语言模型（LLM）应用提供高效、灵活的部署和服务能力。该引擎基于sgl-project开源项目开发，支持复杂的提示工程、多轮对话管理和推理优化，广泛应用于智能客服、内容生成、代码辅助等场景。 ...