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考点24排列与组合（核心考点讲与练）
1.排列与组合的概念
名称定义
排列从〃个不同元素中取出按照一定的顺序排成一列
组合勿（加W/7）个不同元素合成一组
2.排列数与组合数
（1）从〃个不同元素中取出血〃点〃）个元素的所有fl［圆的个数，叫做从〃个不同元素中取出/〃个元素的排列
数.
（2）从〃个不同元素中取出m（后及个元素的所有组合的个数，叫做从"个不同元素中取出加个元素的组合
数.
3.排列数、组合数的公式及性质
⑴1）（〃加+1）-,,..
（〃m）!
czA：n（〃一1）（/?—2）…（〃一/1）
公式⑵C1—M—.
—,,、［（〃，m£N.,口〃忘〃）.特别地Ce—1
力!（〃一口）！
（1）0!=［；A：=〃！.
性质
⑵C：=CL；C>i=CE+C尸1
）方法技巧）
1.求解排列应用问题的6种主要方法
直接法把符合条件的排列数直接列式计算
优先法优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排
插空对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元
法素排列的空当中
定序问
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
除法处
间接法正难则反、等价转化的方法
2.两类有附加条件的组合问题的解法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关
键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解.
3.排列、组合问题的求解方法与技巧
⑴特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）相邻
问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题倍除法处理；（7）分排问题直排处理；
（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；口0）正难则反，等价条件.
4.解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点
（D一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题.
②对「有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排
列、组合的综合问题的一般方法.
高=＞排列
1.（2021哈六中高三上学期期中考试数学（理））m1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数，其中奇数不
相邻且1、2必须相邻，则满足要求的六位数共有（）个
A.72B.96C.120D.288
【答案】A
【分析】根据题意，按1和2两个数按“12”的顺序和“21”的顺序捆绑，利用插空法可得答案.
【详解】解：根据题意，1和2必须相邻，将“12”或“21”看成一个整体与4、6全排列,
排好后，要求奇数互不相邻，则有3个空位可选，冉将“3”和“5”插入到3个空位中，
故选：A.
2.（2021湖南省永州市高三上第一次适应性考试）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文
化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、
《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数
为（）
A.480B.240C.384D.1440
【答案】A
【分析】利用插空法求解即可.
【详解】第•步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有/：=24种排
法；
第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有£=20种插法；
所以共有24x20=480种不同的安排方法.
故选：A
3.（2021新疆喀什地区莎车县一中高三上期中）7个人排成一抹准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，
丙、丁要求分开，则不同的排法有（）
A.480种B.720种C.960种D.1200种
【答案】C
【分析】甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中
甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁.得到结果.
【详解】解：由题意知,
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列内和「，
A.84B.168C.240D.252
【答案】B
【分析】先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，是组合问题，可得其排法数，进而分折可得三个标
号与其在盒子的标号不一致的排法数，由分步计数原理，计算可得结果.
【详解】解：根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，
即从9个球中取出3个，有C；种，而这3个球的排法有2X1X1=2种，
故选:B.
【点睛】方法点睛:有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解
答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清”是分类还是分
步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论乂不能遗漏，这样才
能提高准确率.
2.（2021宁夏银川一中高三上学期第二次月考）有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师
要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）
A.168B.260C.840D.560
【答案】C
【分析】先从后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保证前排入顺序不变可用倍缩法，再由分步乘法
计数原理即可求解.
【详解】解：从后排8人中抽2大有种方法；
将抽出的2人调整到前排，前排4人的相对顺序不变有多种，
A：
由分步乘法计数原理可得：共有C；•与=28x6x5=840种，
A4
故选:C.
3.（2021江苏省南通市海安高三第一次月考）为了更好的了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹.某
校团支部6人组建了党史宣讲，歌曲演唱，诗歌创作三个小组，每组2人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任
诗歌创作，则组建方法有（）种
A.60B.72C.30D.42
【答案】D
【分析】分别求得将6人平均分3个不同组的种数，甲在歌曲演唱小组的种数，乙在歌曲诗歌创作小组的
种数，以及甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作的种数，即可求解.
1.（2021年全国高考乙卷数学）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项
目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种B.120种C.240种D.480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得.
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排
思想求解.
2.（2020年全国统一高考（新课标II））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小
区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.
【答案】36
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原
理得解.
【详解】V4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同
故答案为：36.
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分
析能力和计算能力，属于中档题.
一、单选题
1.（2022•全国•模拟预测）若从甲、乙2名女志愿者和6名男志愿者中选出正组长1人，副组长1人，普
通组员2人到北京冬奥会花样滑沃场馆服务，且要求女志愿者甲不能做正组长，女志愿者乙不能做普通组
员，则不同的选法种数为（）
A.210B.390C.555D.660
【答案】C
【分析】分为四种情况即可得出答案，第种4人均从G名男志愿者中选取，第二种女志愿者甲被选中且
乙没有被选中，第三种女志愿者乙被选中且甲没有被选中，第四种女志愿者甲、乙均被选中.
故选：C.
2.（2021•全国•模拟预测）为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、
开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五
种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题
班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有（）
A.12种B.28种C.20种D.16种
【答案】C
【分析】分中心组学习在第1阶段和第2阶段分别求解，再利用分类加法计数原理求解即可.
故选：C.
3.（2022•广东汕头•一模）有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部
随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名
志愿者进行志愿服务的概率（）
9324
A.—B.-C.—I）.一
164279
【答案】D
【分析】先将4人分成3组，其一组有2人,然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志
愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概
型的概率公式求解即可
故选：1）
2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选
择方案共有（）.
A.72种B.84种C.96种D.124种
【答案】C
【分析】先分有一名女生和没有女生两种情况选出自愿者，然后再排列.
故选：C
5.（2022•重庆•一模）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行
培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种B.120种C.240种D.480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得.
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排
思想求解.
6.（2022•重庆市求精中学校一模）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一
亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了
宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体
育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方
案种数为（）
A.8B.10C.12I）.14
【答案】A
【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.
【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
故选:A.
7.（2022•全国•高三专题练习）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然
繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排月，B,G〃，£五名同志到三个地区开展防疫宣传
活动，每个地区至少安排一人，且4,4两人安排在同一个地区，。，〃两人不安排在同一个地区，则不同的
分配方法总数为（）
A.30种B.36种C.42种D.64种
【答案】A
【分析】由题意可得，分两个地区各分2人,另一个地区分1人和两个地区各分1人,另一个地区分3人
两种情况，对两种情况的种数求和，即可求解.
故选：A
组织一场混合双打比赛，现从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手进行一场混合双
打比赛，则不同的选择方法有（）
A.150种B.300种C.450种D.600种
【答案】B
【分析】由题意知先从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手，由于进行一场混合双
打比赛，再使女乒乓球爱好者要在男乒乓球爱好者上排列，根据分步计数原理得到结果.
•・•由于进行一场混合双打比赛，
・•・两名女乒乓球爱好者要在两名男乒乓球爱好者上排列，
故选：B.
9.（2022•全国-高三专题练习）“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她
们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于
9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成
功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯机火她和
颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她
们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（）
【答案】B
【分析】利用排列组合与概率的定义，进行计算即可
故选；B
二、多选题
】（）.（2022•江苏常州•高三期末）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公
共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）
【答案】ACI）
【分析】选项ACD均可以对其每一步的方法数进行合理解释，而选项B方法总数错误，不能对其每一步的
方法数进行合理解释.
故选：ACD
11.（2022•重庆市朝阳中学高三开学考试）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿
者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（）
A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为5“
【答案】ABI）
【分析】根据分步乘法计数原理判断A、B,对开车的人员分类讨论利用分步乘法计数原理及分类加法计数
原理判断C,按照部分平均分组法判断D；
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对「A,安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有4s种安排方法，故A
错误：
三、填空题
12.（2022•四川•宜宾市叙州区第一中学校二模（理））某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作
者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情.某医院呼吸科共有4名医生，6名护士，其中1名医生为科室主任,
1名护士为护士长.根据组织安排，从中选派3人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护
士长至少有1人参加，则不同的选派方案共有种.
【答案】51
【分析】对于特殊元素科室主任和护士长分类讨论，分别求出各种情况的选派方案数，再相加即可；
【详解】解：选派3人去支援抗疾一线，方案有下列三种情况：
故答案为：51
13.（2022•湖南岳阳・一模）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相
声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有―种.（结果用数字咋答）
【答案】36
【分析】先考虑相声、跳舞相邻的情况，再考虑考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，利用捆绑法与
间接法可求得结果.
【详解】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，
接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，
其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节E进行排序，
故答案为：36.
14.（2022•湖南湖南-二模）一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，其中有2位
是高三（1）班的同学，现要选4人去“表彰会”上作报告，若高三（1）班的2人同时参加，则2人作报
告的顺序不能相邻，则要求高三（1）班至少有1人参加的作报告的方案共有___________种.（用数字作答）
【答案】3024
【分析】就高三（1）有1人参加还是有2人参加分类计数后可得正确的结果.
故答案为：3024
15.（2022•浙江•模拟预测）某九位数的各个数位由数字1,2,3组成，其中每个数字各出现3次，且数
字I和数字2不能相邻，则符合条件的不同九位数的个数是_.（用数字作答）
【答案】92
【分析】排好三个3后，将剩下的三个1和三个2进行分组，利用插空法，分类讨论不同分组下的情况，再
由分类加法计数原理计算.
故答案为：92
16.（2022•江西鹰潭•一模（理））2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同
学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要
有人去，则不同游览方案的种数为.
【答案】65
【分析】利用间接法，利用分步计数原理求出没有限制的方案数，排除没人去人民公园的方案数，即得.
【详解】由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有？种，
若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有24种，
故答案为：65.
17.（2022・浙江温州-高三开学考试）将标有1,2,3,4,5,6的6个球放入4B,。三个盒子，每个
盒子放两个球，其中1号球不放/盒子中，2号和3号球都不放8盒子中，则共有种不同的放法
（用数字作答）.
【答案】27
【分析】按照1号球是否放在8盒子分类，结合.
故答案为：27.
18.（2022•全国-高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少
2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有种不同分配方案.
【答案】85
【分析】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况，然后其余的情况先分给1班1个
名额，2班、4班每班各2个名额，再将剩下的分给1,2,4班，餐班至少一个名额，用隔板法可求解.
【详解】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或。个名额三种情况.
（1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、
2班和4班，每个班至少一个名额.
（2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、
2班和4班，每个班至少一个名额.
（3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的1（）个名额分给1
班、2班和4班，每个班至少一个名额.
故答案为：85.
【点睛】本题考查隔板法的应用，等价转化是关键，属于中档题.
19.（2022•全国-高三专题练习（理））某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同
灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜
（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为.
（用数字作答）
【分析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所以本题是定序
问题，故结合倍缩法即可求出结果.
20.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只
能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（用数字作答）.
【答案】90
【分析】根据有六个集装箱，需要全部装运，得到人种取法，再根据每次只能从其中一堆取最上面的一个
集装箱，由排列中的定序问题求解.
又因为每次只能从其中•堆取最上面的•个集装箱，
故答案为：90.
【点睛】本题主要考查排列的应用，还考查了分析问题求解问题的能力，属于中档题.
21.（2022•河北保定•一模）2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10
名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有
种.
【答案】22050
【分析】由题意可得分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2,4,4或3,3,4,然后根据分类加法原
理和分步乘法原理可求得结果
【详解】根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2,4,4或3,3,4,
故答案为:22050
22.（2022•重庆八中模拟预测）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了
我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运
筹算、了知算、成数算、把头
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