本章如果要归结成一个问题的话，可以归结为选择问题，比如要从一堆数中选择最大的数，或最小的数，或第几小/大的数等， 这样的问题看似很简单，似乎没有什么可研究的必要，因为我们已经知道了排序算法，运用排序+索引的方式不就轻松搞定了？但细想，排序所带来的时间复杂度是不是让这个问题无形之中变得糟糕。那算法研究不就是要尽可能避免一个问题高复杂度地解决，让那些不敢肯定有无最优解的问题变得不再怀疑，这也是算法研究者所追求的一种极致哲学。既然排序让这个问题解决的性能无法确定，那我们就抛开排序，独立研究问题本身，看有没有确定性的，且更优的解决之道，所以，这就是本章所探讨的问题。
一、中位数和顺序统计量
中位数：用非形式化的语言描述：中位数表示这样的一位数，它所属集合的“中点元素”。如果集合元素n为奇数，则中位数为(n+1)/2处；如果n为偶数，则中位数出现在n/2（下中位数）和n/2+1（上中位数）处，一般无特殊说明，我们都取下中位数。
顺序统计量：在一个n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是该集合中第i小的元素。
最大值：第1个顺序统计量。
最小值：第n个顺序统计量。
选择问题：给定一个包含n个元素的集合A和一个整数i，1<=i<=n，我们需要得到一个整数x，其中有i-1个元素小于它，即第i个顺序统计量。
前面说过，这个问题最直观的解法是通过排序+索引的方式，但排序算法有多种，且时间复杂度略高。我们需要更低时间复杂度来解决这个问题，要求线性时间，即O(n)。我们总结下算法导论上提出的方法，一步步展示如何O(n)来解决这个问题。
二、最大值、最小值
1、O(n)求最大值、最小值
2、3/2n次比较同时求最大最小值
按照锦标赛法，同时求最大最小值，需要2(n-1)次比较，但是换一种思路，我们没必要一个元素比较两次，而是两个元素比较一次，然后得出大小关系，在分别和最大、最小值比较，这样两个元素就只用比较3次，总共就是3/2n次。这里要分奇偶数看待，但不管奇偶，都需要3/2n次。比较次数减少了，时间也就降低了。代码如下：
3、最坏情况下，n-lgn-2次比较求第二小的元素（习题9.1-1）
本处要求的时间复杂度中含有lgn，我们自然想到这恰好是由n个元素组成的二叉树中的树的高度。有了这个提示之后，我们把思考点放在如何将n个元素的比较转化成一棵二叉树来求。通过前面的决策树，我们知道，决策树中的叶子节点，就是n个元素的排序组合，那么对应过来，我们可以得到n个元素恰好也可以成为二叉树的叶子节点，那么只需通过两两比较就可以得到，如下：
1）将n个元素两两分组，若为奇数，则单出一个；
2）比较每组元素得到最小值，将其作为该组两个元素的父亲节点；
3）对每组得到的父亲节点再采用1）的方式，直到最终剩余一个元素，即根节点。
这样，我们采用自底向上的方式构建了一棵二叉树，比如集合(2, 1, 4, 3, 5)，我们得到这样一棵树：
接下来，就是找第二小的元素，根节点是第一小的元素，我们从根节点往下遍历，就可以找到第二小的元素，如上图：第一次找到5，第二次3，第三次2，到达叶子节点，也就找到第二小的元素。现在我们来分析下时间复杂度：
1）自底向上比较建树需要n-1次比较；
2）自顶向下寻找需要lgn-1次比较（树高）;
一般选择问题看起来要比找最大、最小值要复杂得多，但令人惊奇的是，这两个问题的渐近运行时间却是相同的，都为O(n)。本节介绍的这个算法很强悍，期望的时间复杂度就能达到O(n)，但最坏情况下的时间复杂度却为O(n^2)。该算法采用的是快速排序章节中的Partition过程来得到划分的中点，如果该中点恰好等于选择的点，则即为所求，否则再在左右两个区间中用同样的方法再次寻找，伪代码如下：
实现代码如下：
习题9.2-3要求实现一个非递归的版本，如下：
前面说过，Randomized_Select在最坏情况下，时间复杂度为O(n^2)，这取决与划分的元素在集合中的位置。本节介绍的Select算法就能达到这样的要求，Select算法的思想是保证集合的划分是个好的划分，所以，需要对Partition做一点修改，具体的算法步骤如下：
如何保证是一个好的划分，该算法采用计算中位数的中位数的方法，首先将集合划分为5个元素一组的集合，不够5个元素的，单独做一个集合；然后采用插入排序找到5个元素的中位数，再从找到的中位数找到中位数，这样双重的中位数就能够保证这是一个较好的划分。但是为什么是5个元素一组，书中没特别说明，我想这是一个多次尝试的经验值，通过多个值测试时间复杂度之后，发现5是最好的。我们也可以具体分析一下：
如上图，至少有一半的组中有3个元素大于x，不算x所在组和元素不足5个的组，大于x的元素个数至少为：
进而可以得到其递归式为：
同理，我们可以分析当划分为7个元素一组时（习题9.3-1），递归式为：