8．2 函数与数学模型 （1）
【知识点梳理】
知识点一、几种常见的函数模型
知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤
1、解应用题的基本思想
2、解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．
上述四步可概括为以下流程：
知识点三、解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．
其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系．
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．
【题型归纳目录】
题型一：一次函数与二次函数模型的应用
题型二：分段与分式函数模型的应用
题型三：指数、对数、幂函数模型的应用
题型四：拟合函数模型的应用问题
题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型
题型六：指对幂函数的增长差异
【典型例题】
题型一：一次函数与二次函数模型的应用
例1．（2022·贵州遵义·高一期中）
例2．（2022·浙江嘉兴·高一期中）
例3．（2022·福建福州·高一期中）
变式1．（2022·宁夏银川·高一期中）
变式2．（2022·福建宁德·高一期中）
【方法技巧与总结】
1、一次函数模型的应用
2、二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．
题型二：分段与分式函数模型的应用
例4．（2022·江苏·常州高级中学高一期中）
例5．（2022·江苏·金陵中学高一期中）
例6．（2022·重庆八中高一期中）
变式3．（2022·陕西·永寿县中学高一期中）
变式4．（2022·上海交通大学附属中学嘉定分校高一期中）
变式5．（2022·陕西·西安中学高一期中）
变式6．（2022·陕西咸阳·高一期中）
【方法技巧与总结】
1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
题型三：指数、对数、幂函数模型的应用
例7．（2022·全国·高一课时练习）
例8．（2022·全国·高一课时练习）
例9．（2022·上海市建平中学高一期末）
变式7．（2022·上海市市西中学高一期中）
变式8．（2022·河南开封·高一期末）
变式9．（2022·全国·高一专题练习）
变式10．（2022·上海·高一专题练习）
【方法技巧与总结】
2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
题型四：拟合函数模型的应用问题
例10．（2022·全国·高一专题练习）
例11．（2022·广东珠海·高一期末）
例12．（2022·全国·高一课时练习）
变式9．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）
y(万个)
10
50
150
变式11．（2022·全国·高一专题练习）
变式12．（2022·福建厦门·高一期末）
变式13．（2022·福建南平·高一期末）
变式14．（2022·全国·高一课时练习）
【方法技巧与总结】
在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型
例13．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）
例14．（2022·全国·高一课时练习）
例15．（2022·全国·高一课时练习）
变式15．（2022·全国·高一单元测试）
变式16．（2022·四川自贡·高一期末）
变式17．（2022·全国·高一单元测试）
题型六：指对幂函数的增长差异
例16．（2022·全国·高一课时练习）
例17．（2022·全国·高一专题练习）
例18．（2022·湖南·高一课时练习）
变式18．（2022·湖南·高一课时练习）
变式19．（2022·全国·高一专题练习）
变式20．（2022·江苏·高一课时练习）
金额说明：按照所选试卷单价总和计费，不同身份的用户可在原价的基础上享受其对应权益（折扣或免费）
组卷网拥有组卷网、组卷商标，若您发现其他网站违规使用，欢迎您向我们举报